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数学において初学者は、「循環小数0.999...と1は等しくない」という誤った認識を持つことがある。以下にそれら二数が等しいことを示す。
0.999\ldots
\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
-9 + \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots
-9 + 9 \times \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k
-9 + 9 \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}
上の証明では、次の無限級数 無限等比級数が収束することの理解が重要な鍵となる。
:\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}.
この証明では収束級数は扱っていないものの、理解は更に容易であろう。
実数の性質を用いて証明することも可能である。0.999...と1を異なる二つの実数であると仮定すると、実数の性質により、区間(0.999..., 1)には無数の実数が存在することになる。しかし、実際そのような実数は存在しないので、仮定は偽であることが分かる。故に、0.999...と1は等しい。
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